Пифагорын теорем

Леонардо да Винчигийн баталгаа

Пифагорын теорем нь хавтгайн геометр дахь тэгш өнцөгт гурвалжны 3 талын уртуудын харьцааны тухай теорем юм.
Тодорхойлолт

Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын уртын квадратуудын нийлбэр гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртыг c, катетуудын уртыг a, b гэвэл

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2,

гэсэн тэнцэтгэл биелнэ. Тус теоремыг 100 гаруй янзаар баталж болдог.
Пифагорын тоонууд

Эерэг бүхэл тоо a,b,c-нүүдийн хувьд

a2 + b2 = c2

нөхцөл биелэгдэж байвал (a,b,c) гурвалыг Пифагорын тоонууд гэдэг. Мөн хамгийн их ерөнхий хуваагч нь 1 байх a, b, c Пифагорын тоонуудыг анхны, эсвэл энгийн Пифагорын тоонууд гэдэг бөгөөд бүх Пифагорын тоонууд нь энгийн Пифагорын тоонуудын үржвэр хэлбэртэй байна.
Ерөнхийлөл

Косинусын теорем нь Пифагорын теоремын аливаа гурвалжны хувь дахь ерөнхийлөл гэж үзэж болно. Үнэхээр косинусын теорем ёсоор

c2 = a2 + b2 − 2abcosC

байдаг бөгөөд C нь тэгш өнцөг байх үед cos C = 0 тул энэ тохиолдолд Пифагорын теорем гарч ирж байгаа юм.

Фермагийн их теорем

Фермагийн их теорем (Fermat's last theorem, Fermat's great theorem) гэдэг нь "3-аас багагүй натурал тоо n-ийн хувьд xⁿ + yⁿ = zⁿ байх 0-ээс ялгаатай (x、y、z) натурал тоон гурвал олдохгүй" гэсэн теорем юм.n = 2 үед дээрх харьцааг хангадаг

Түүх

17 дугаар зуун、Францын математик сонирхогч Ферма（1601 - 1665）нь Диофантын "Тооцооллын урлаг" хэмээх номын хоосон зайд "Би маш гайхалтай баталгааг нь олсон боловч энэ жижигхэн зай уг баталгааг бичихэд багадаж байна" хэмээн энэхүү теоремыг бичиж үлдээжээ. Түүний үлдээсэн таамаглалууд бүгд шийдэгдсэн боловч энэхүү теорем нь батлагдалгүй, эсрэг жишээ ч олдолгүй он удаан жилийг элээсэн тул Фермагийн их теорем хэмээн нэрлэгдэг болжээ. Үүнийг n=4 болон n нь анхны тоо үед батлахад л хангалттай. Учир нь, жишээлбэл n=6 үед (x²)³ + (y²)³ = (z²)³ хэмээн өөр хэлбэрээр бичиж чадах билээ.

• n = 4: Ферма（1640 он）д баталсан.
• n = 3: Эйлер（1753～1770 он）Гэвч баталгаа нь дутуу байсан.
• n = 5: Лежандр、Ламэ（1825 он）
• n = 14: Дирихле（1832 он）
• n = 7: Ламэ（1839 он）
• Өөр олон алдаатай "баталгаанууд" зарлагдаж байжээ.
• Эрнст Куммер Идеал хэмээх ойлголтыг оруулж ирсэн.
• Фальтингс уг тэгшитгэлийн жинхэнэ шийд төгсгөлөг тоотой болохыг баталжээ.
• 1993 онд Эндрю Уайлс теоремын баталгааг олсноо зарлажээ. Гэвч харамсалтай нь дутуу баталсан байлаа.
• 1994 оны 10 дугаар сард мөнхүү Уайлс шинэ баталгаа олсноор 360 жилийн түүхтэй уг теоремыг шийджээ.

натурал тоон гурвал нь Пифагорын тоонууд гэж нэрлэгддэг бөгөөд ийм чанартай тоонууд төгсгөлгүй олон олддог билээ.

Баталгааны явц

Эндрю Уайлс нь Фермагийн Их Теоремыг батлахаар оролдох болсон нь түүний судалж байсан салбар болох эллиптик муруйн тухай Герхарл Фрай хэрэв Фермагийн Их Теорем худлаа бол түүнээс гарах эллиптик муруй нь модуляр хэлбэртэйгээр оршин байхгүй гэж таамаглал (Фрайгийн таамаглал) гаргасныг Кэн Рибье баталснаас үүдэлтэй гэгддэг.

Холбогдох ном зохиолууд

• Саймон Шин "Фермагийн Их Теорем - Пифагороос эхэлж, Уайлс батлах хүртэл" ISBN 4-10-539301-4
  • Бест селлер

Фермагийн бага теорем

Ерөнхий ойлголт

"p - анхны тоо, a нь p-гийн хуваагдагч биш бүхэл тоо (a ба p нь харилцан анхны тоонууд) байг. Тэгвэл

Өөрөөр хэлбэл a-г p-1 зэрэг дэвшүүлэхэд гарах тоог p-д хуваахад үлдэгдэл нь 1 гарна" гэдэг нь Фермагийн бага теоремын тодорхойлолт юм. Фермагийн их теоремоос

(Фермагийн их теорем (Fermat's last theorem, Fermat's great theorem) гэдэг нь "3-аас багагүй натурал тоо n-ийн хувьд xⁿ + yⁿ = zⁿ байх 0-ээс ялгаатай (x、y、z) натурал тоон гурвал олдохгүй" гэсэн теорем юм.n = 2 үед дээрх харьцааг хангадаг натурал тоон гурвал нь Пифагорын тоонууд гэж нэрлэгддэг бөгөөд ийм чанартай тоонууд төгсгөлгүй олон олддог билээ.)

ялгахын тулд "бага" гэдэг нэрийг хэрэглэдэг.

Энэхүү теорем нь Пьер де Фермагийн нэрээр нэрлэгддэг боловч түүний бусад таамаглалуудтай адилаар, Фермагийн гэх баталгаа олдоогүй. Уг теоремыг хамгийн анх Готфрид Лейбниц баталсан гэж үздэг.

Баталгаа

Хоёр гишүүнтийг зэрэг дэвшүүлэх хууль ёсоор математик индукцийн арга ашиглан батлах нь хялбар. Энд

буюу a-г p зэрэг дэвшүүлсэн тоог p-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь a-г p-д хуваахад гарах үлдэгдэлтэй тэнцүү хэмээх теоремыг ашиглая.

1. (m + 1)^p -г задалбал,
   m^p + _pC₁m^p-1 + _pC₂m^p-2 + … + _pC_p-1m + 1
   болно.
2. Энд хоёр захын гишүүнээс бусад бүх гишүүнд _pC_k нь коэффициент болно. Энэ нь p нь анхны тоо бол k нь 1-ээс бага биш, p-ээс их биш бол заавал p-д хуваагдана.
3. Өөрөөр хэлбэл, хоёр захын гишүүнээс бусад нь p-д хуваагдана. Иймээс (m + 1)^p -г p-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь m^p + 1-г p-д хуваахад гарах үлдэгдэлтэй тэнцүү болно.
4. m = 1 гэе. 2^p = (1 + 1)^p -г p-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь 1^p + 1 = 2 болох бөгөөд энэ нь a = 2 үед Фермагийн бага теорем үнэн болохыг илтгэж байна.
5. a-гаар индукцлэе. Өөрөөр хэлбэл a = k үед теорем үнэн гэж үзье. 3-р алхам ёсоор (k + 1)^p-г p-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь k^p + 1 -г p-д хуваахад гарах үлдэгдэлтэй тэнцүү. Цаашилбал математик индукцийн зарчим ёсоор k + 1 -г p-д хуваахад гарах үлдэгдэлтэй тэнцүү. Иймд a = k + 1 тохиолдолд ч биелж байна. Ийнхүү математик индукцийн зарчим ёсоор 2-оос бага биш бүх a-гийн хувьд теорем биелж байна.
6. a = 0, 1 үед илэрхий.

（Теорем батлагдав）

Эйлерийн теорем

Хожим Леонард Эйлер тус теоремыг өргөтгөж, a ба n нь харилцан анхны бүхэл тоонууд байх үед,

тэнцэтгэл биелэхийг үзүүлсэн. Энд нь n-ээс их биш бөгөөд n-тэй харилцан анхны натурал тоонуудын тоог илтгэх бөгөөд Эйлерийн функц гэж нэрлэгддэг.

n нь анхны тоо гэвэл учраас Фермагийн теорем гарна.

Теорем гэж юу вэ?Алдартай теоремууд.

Теорем (Англи хэл: Theorem) нь логик ба математикт батлагдсан үнэн өгүүлбэрийг хэлнэ.

Математикт онолыг тайлбарлахад зориулж теоремыг лемма (Англи хэл: Lemma) гэх мэтээр нэрлэх нь бий.

Ерөнхий тохиолдолд теорем нь нэг буюу хэд хэдэн нөхцөл өгч, уг нөхцлүүд хангагддаг байх үед биелэх дүгнэлтийг томъёолон заах гэсэн бүтэцтэй байдаг. Жишээ нь, Алгебрийн үндсэн теоремыг авч үзвэл,

(Нөхцөл) f(X) нь комплекс тоон олон гишүүнт бол

(Дүгнэлт) f(X) нь комплекс тоон шийд буюу язгууртай.

Ямар нэгэн нөхцөл бүрдсэн үед гарах дүгнэлтийг томъёолж, түүнийгээ батлах нь математикийн шинжлэх ухааны судалгааны үндсэн арга юм.

Математикийн олон салбарт тус тусын "үндсэн теорем" гэж нэрлэгдэх теорем байдаг. Түүнчлэн теоремын ойлголт нь математик төдийгүй физик, техникийн шинжлэх ухаан ч ашиглагддаг.

Алдартай теоремууд

• Синусын теорем, косинусын теорем
• Пифагорын теорем
• Гауссын теорем
• Фермагийн их теорем
• Алгебрийн үндсэн теорем
• Лагранжийн теорем
• Эйлерийн теорем
• Тейлорын теорем
• Фермагийн бага теорем